当前简讯:代数数论笔记（一）：迹、范、判别式
哔哩哔哩
2023-04-12 19:04:14
仅作为试写.
虽然会费点时间，还是把一些东西给以电子的方式记录下来。这系列笔记， 记录方式会比较精炼，没有例子、没有证明。如果有所疑问，或者有错误指出，请直接在评论区评论。
还有，希望大家不要对一些看起来高深的内容望而生畏，进而对这门学科产生回避心理，或者对本人产生赞佩之心。这些内容，其实在花一些学习时间戳破外表后，还算容易。
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在代数数论中，我们关心的在内的有限扩张（将这类域称作数域. 由此可以看见是一个最小的数域）. 由本原元定理，任何这样的扩张都可以写成单扩张.到 的一个保持的单射称作-嵌入. 由此可以看到的一个-嵌入由的像决定，而的像可以选取的根. 从而有个-嵌入. 这里表示上的极小多项式.
注1：复共轭是一个天然的自同构，利用这个自同构，我们可以对数域的到的嵌入 作一个共轭： ，同样也是个的到的嵌入.如果是一个-嵌入，也是一个-嵌入.所以我们可对有限个的-嵌入进行一个简单的分类：如果，则称这个-嵌入是实的；否则,是不同的嵌入，称它们为虚的，这样的嵌入是两两成对的. 这样子，可以设有个实的-嵌入，个虚的-嵌入，则总嵌入个数.注意嵌入是由本原元的像决定的，的一个-嵌入是实的当且仅当（这与本原元的选取无关）.因此为极小多项式实根个数，为虚根个数.
一般地、对数域的扩张都存在本原元，即. 从而有个-嵌入（定义与-嵌入类似）.由此，我们可以对域扩张的元素引入迹(trace)与范(norm)的概念.定义,.这里遍历所有-嵌入.我们将在后续内容见识到这个工具的强大，可以说这个工具贯穿始终.
注2：可以看出迹与范和的极小多项式（通过韦达定理）有一些联系.事实上，作的中间域并设在上的极小多项式.有,.道理大致是：每一个更大的域上的-嵌入都可以通过限制，限制到更小的域的-嵌入，而反过来，的-嵌入都可以延拓到上，而不同延拓的个数为.再次提醒：如有疑问或有错误指出，可以直接在评论区评论.
注3：由注2，我们立刻注意到：.它们还是群同态.也就是，它是一个从更小域里刺探更大域里面元素性质的一个方法.
接着可以讨论一组元素的判别式（discriminant）.定义.这里为个-嵌入. 当然，这与的排序无关.
注4：它名叫判别式的理由是，可以证明是-线性无关的，从而它们张成了. 简单的证明方法是构造双线性型，它作为-双线性型 的表示矩阵的行列式即为.
注5：没错，总是在中.
对任何一个元素，可以单独的定义其判别式. 作为练习，请证明：.这里是多项式的形式导数，是的次数（证明是一些线性代数）.
因为b站插入图片（公式是一种图片）数量有限制，有关例子的计算另外开一篇笔记.
